Задача
GEO-B3-M06-P008 Изогональная пара на стороне
#8
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Прямые \(AX\) и \(AY\) изогональны в угле \(A\) треугольника \(ABC\) и пересекают \(BC\) в \(X,Y\). Докажите, что \(\frac{BX}{CX}\cdot\frac{BY}{CY}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Запишите формулу отношения для каждой чевианы.
D. Подсказка 2. Изогональность поменяет числитель и знаменатель синусной части.
По формуле чевианы: \[ \frac{BX}{CX}=\frac{AB\sin\angle BAX}{AC\sin\angle XAC},\quad \frac{BY}{CY}=\frac{AB\sin\angle BAY}{AC\sin\angle YAC}. \] При изогональности \(\angle BAX=\angle YAC\), \(\angle XAC=\angle BAY\).
Перемножая, получаем сокращение синусов и остаётся \(\frac{AB^2}{AC^2}\).
Это ключ к симедианам и изогональному сопряжению.