Задача
GEO-B3-M05-P023 Точки Брокара на окружности с диаметром \(OK\)
Пусть \(O\) — центр описанной окружности, \(K\) — точка Лемуана, \(P,Q\) — первая и вторая точки Брокара треугольника \(ABC\). Докажите, что \(P\) и \(Q\) лежат на окружности с диаметром \(OK\).
C. Подсказка 1. Рассмотрите три подобные фигуры, построенные на сторонах \(BC,CA,AB\).
D. Подсказка 2. Точки Брокара являются центрами согласованных поворотных гомотетий этих фигур.
Построим на сторонах \(BC,CA,AB\) три подобные ориентированные фигуры. Их окружность подобия имеет диаметр \(OK\): точка \(O\) соответствует серединным перпендикулярам к сторонам, а точка \(K\) — соответственным прямым, проходящим через Лемуана параллельно сторонам.
Для первой точки Брокара прямые \(CP,AP,BP\) являются соответственными прямыми этих трёх фигур. Следовательно, их общая точка \(P\) лежит на окружности подобия. Аналогично вторая точка Брокара \(Q\) получается из противоположной ориентации соответственных прямых и тоже лежит на той же окружности.
Так как окружность подобия имеет диаметр \(OK\), точки \(P\) и \(Q\) лежат на окружности с диаметром \(OK\).
Это сильный conceptual result; лучше давать после задач на Лемуана и Брокара отдельно.