Задача
GEO-B3-M03-P019 Полная самополярность
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности. Пусть \(P=AB\cap CD\), \(Q=AC\cap BD\), \(R=AD\cap BC\). Докажите все три утверждения: поляра \(P\) есть \(QR\), поляра \(Q\) есть \(PR\), поляра \(R\) есть \(PQ\).
C. Подсказка 1. Докажите одно утверждение, остальные получаются перестановкой букв.
D. Подсказка 2. Используйте пересечения касательных к концам секущих.
E. Полное решение.
Докажем, что поляра \(P\) есть \(QR\). Точки \(A,B\) и \(C,D\) лежат на двух секущих через \(P\). Пересечения касательных в \(A,B\) и в \(C,D\) лежат на поляре \(P\). По вырожденному Паскалю эта же прямая проходит через \(Q\) и \(R\). Значит, поляра \(P\) есть \(QR\).
Аналогично, рассматривая секущие через \(Q\): \(AC\) и \(BD\), получаем, что поляра \(Q\) есть \(PR\). Рассматривая секущие через \(R\): \(AD\) и \(BC\), получаем, что поляра \(R\) есть \(PQ\). Все три утверждения доказаны.
После этой задачи диагональный треугольник можно уверенно использовать как готовый самополярный объект.