Задача
GEO-B3-M03-P017 Брианшон для описанного шестиугольника
B. Новая оригинальная задача. Шестиугольник \(ABCDEF\) описан около окружности \(\omega\). Докажите, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
C. Подсказка 1. Это двойственное утверждение к Паскалю.
D. Подсказка 2. Перейдите от шести касательных сторон к шести точкам касания и их полярам.
E. Полное решение.
Пусть стороны шестиугольника касаются \(\omega\) в точках \(A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1\) соответственно. Теорема Паскаля для шести точек касания на окружности утверждает коллинеарность трёх пересечений противоположных сторон соответствующего вписанного шестиугольника.
При переходе к полюсам и полярам коллинеарность трёх точек превращается в конкурентность трёх соответствующих прямых. Эти прямые в исходном описанном шестиугольнике как раз \(AD\), \(BE\), \(CF\). Следовательно, они пересекаются в одной точке.
Это полноценный preview двойственности Паскаля; желательно сопровождать рисунком.