Задача
GEO-B3-M03-P014 Касательные в противоположных вершинах
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности. Касательные в \(B\) и \(D\) пересекаются в \(X\). Пусть \(Y=AB\cap CD\), \(Z=AD\cap BC\). Докажите, что \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Введите точку \(T=BD\cap AC\).
D. Подсказка 2. Какая поляра у \(T\) в полном четырёхугольнике?
E. Полное решение.
Пусть \(T=BD\cap AC\). Для полного четырёхугольника \(ABCD\) поляра точки \(T\) есть прямая, проходящая через две другие диагональные точки, то есть через \(Y\) и \(Z\).
Так как \(T,B,D\) коллинеарны, а \(X\) - пересечение касательных в \(B\) и \(D\), точка \(X\) лежит на поляре \(T\). Следовательно, \(X\in YZ\), что и требовалось доказать.
Похожа на предыдущую задачу, но порядок вершин другой; это проверяет гибкость метода.