Задача
GEO-B3-M03-P003 Проверка теоремы Ла Ира
#3
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
B. Новая оригинальная задача. Относительно единичной окружности точки \(P(p,q)\) и \(Q(u,v)\) таковы, что \(Q\) лежит на поляре \(P\). Докажите, что \(P\) лежит на поляре \(Q\).
Inspired by Prasolov poles and polars method
C. Подсказка 1. Запишите условие \(Q\in p\) координатно.
D. Подсказка 2. Сравните уравнение поляры \(Q\) с тем же скалярным равенством.
E. Полное решение.
Поляра точки \(P\) имеет уравнение \(px+qy=1\). Так как \(Q(u,v)\) лежит на ней, получаем \(pu+qv=1\).
Поляра точки \(Q\) имеет уравнение \(ux+vy=1\). Подставляя \(P(p,q)\), получаем \(up+vq=1\), то есть то же равенство. Следовательно, \(P\) лежит на поляре \(Q\).
После этой задачи La Hire можно использовать как готовый инструмент без координат.