Задача
GEO-B3-M02-P005 Гармоническая четвёрка сохраняется
B. Новая оригинальная задача. На прямой \(l\) точки \(A,B,C,D\) образуют гармоническую четвёрку: \((A B C D)=-1\). Центральная проекция переводит их на прямую \(m\) в точки \(A_1,B_1,C_1,D_1\). Докажите, что \((A_1 B_1 C_1 D_1)=-1\).
C. Подсказка 1. Гармоничность - это не про длины по отдельности, а про двойное отношение.
D. Подсказка 2. Используйте сохранение двойного отношения при проекции.
E. Полное решение.
Центральная проекция является проективным отображением прямой \(l\) на прямую \(m\). Поэтому она сохраняет двойное отношение:
\[ (A_1 B_1 C_1 D_1)=(A B C D). \]
По условию \((A B C D)=-1\). Значит, \((A_1 B_1 C_1 D_1)=-1\), то есть образ гармонической четвёрки снова гармонический.
Полезно после этой задачи попросить ученика построить гармонически сопряжённую точку линейкой через полный четырёхугольник.