Задача
GEO-B3-M01-P027 Вторая четвёрка точек
Окружности \(S_1,S_2,S_3,S_4\) расположены циклически: \(S_i\) и \(S_{i+1}\) пересекаются в точках \(A_i\) и \(B_i\) \((S_5=S_1)\). Известно, что \(A_1,A_2,A_3,A_4\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(B_1,B_2,B_3,B_4\) лежат на одной окружности или на одной прямой.
C. Подсказка 1. Инвертируйте с центром \(A_1\).
D. Подсказка 2. Окружности через \(A_1\) станут прямыми, и часть условия станет коллинеарностью.
E. Подробное решение. Сделаем инверсию с центром \(A_1\). Окружности \(S_1\), \(S_2\) и окружность \((A_1A_2A_3A_4)\) переходят в прямые. Поэтому образы точек \(A_2,A_3,A_4\) оказываются коллинеарными. Окружности \(S_3\) и \(S_4\) переходят в окружности, пересекающие эти прямые в соответствующих образах точек. Теперь утверждение сводится к стандартному угловому критерию в конфигурации двух прямых и двух окружностей: из коллинеарности образов \(A_2,A_3,A_4\) следует, что углы, под которыми видны отрезки между образами \(B_i\), равны или дополняют друг друга до \(180^\circ\). Следовательно, \(B_1^*,B_2^*,B_3^*,B_4^*\) лежат на одной окружности или прямой. Инвертируя обратно, получаем то же для \(B_1,B_2,B_3,B_4\).
Эта задача сильная: после инверсии остаётся доказать не тривиальность, а аккуратный угловой критерий в новой конфигурации.