Задача
GEO-B3-M01-P025 Фиксированная окружность контактов
Две окружности \(R_1\) и \(R_2\) касаются в точке \(A\). Окружности \(S_1,\ldots,S_n\) касаются обеих \(R_1\) и \(R_2\), причём \(S_i\) касается \(S_{i+1}\) в точке \(T_i\). Кроме того, \(S_n\) касается \(S_1\). Докажите, что точки \(T_1,\ldots,T_n\) лежат на одной окружности, проходящей через \(A\).
C. Подсказка 1. Центр инверсии должен быть точкой касания \(A\).
D. Подсказка 2. После инверсии \(R_1\) и \(R_2\) станут параллельными прямыми, а все \(S_i\) — равными окружностями.
E. Подробное решение. Сделаем инверсию с центром \(A\). Так как \(R_1\) и \(R_2\) касаются в центре инверсии, их образы — две параллельные прямые. Каждая окружность \(S_i\), касающаяся обеих данных окружностей, переходит в окружность, касающуюся двух параллельных прямых. Поэтому все \(S_i^*\) имеют одинаковый радиус, а их центры лежат на средней линии между параллельными прямыми. Если две равные окружности касаются, их точка касания лежит на линии центров; значит, все точки \(T_i^*\) лежат на этой средней линии. Обратный образ этой прямой — окружность, проходящая через центр инверсии \(A\). Следовательно, исходные точки \(T_i\) лежат на одной окружности через \(A\).
Финальная сложность здесь в выборе центра: без инверсии утверждение о множестве точек касания выглядит как сильная теорема о цепочке окружностей.