Задача
GEO-B3-M01-P015 Точки касания в сегменте
В круговом сегменте с хордой \(AB\) вписаны две окружности, касающиеся хорды \(AB\) и дуги сегмента. Они пересекаются в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что прямая \(MN\) проходит через фиксированную точку дуги, равноудалённую от \(A\) и \(B\).
Подсказка 1. Выберите центром инверсии середину дуги \(AB\).
Подсказка 2. Эта инверсия переводит хорду \(AB\) в дугу \(AB\).
E. Подробное решение. Пусть \(P\) — точка дуги, равноудалённая от \(A\) и \(B\). Возьмём инверсию с центром \(P\) и степенью \(PA^2\). Она меняет местами хорду \(AB\) и дугу \(AB\) окружности сегмента: точки \(A\) и \(B\) остаются на месте, а окружность через \(P,A,B\) переходит в прямую \(AB\). Окружности, вписанные в сегмент, переходят в окружности того же типа. Для двух таких окружностей общая хорда и её образ должны проходить через центр инверсии, потому что обе окружности касаются двух взаимно обратных границ. Следовательно, их общая хорда \(MN\) проходит через \(P\).
Это уже олимпиадный ход: надо выбрать не произвольный центр, а специальную точку дуги.