Задача
GEO-B3-M01-P013 Микель через инверсию
Четыре прямые общего положения образуют четыре треугольника. Три окружности, описанные около трёх из этих треугольников, проходят через точку \(P\). Докажите, что окружность, описанная около четвёртого треугольника, также проходит через \(P\).
Подсказка 1. Инвертируйте с центром \(P\).
Подсказка 2. Окружности через \(P\) станут прямыми.
E. Подробное решение. Сделаем инверсию с центром \(P\). Три данные окружности проходят через центр инверсии, поэтому перейдут в три прямые. Каждая из этих прямых является образом окружности, проходящей через три вершины одного из треугольников исходного полного четырёхсторонника. После инверсии условие «три точки лежат на окружности через \(P\)» превращается в условие коллинеарности их образов. Для четырёх исходных прямых это ровно те же три стороны образного четырёхсторонника. Если три соответствующие тройки образов коллинеарны, четвёртая коллинеарность следует из обычной теоремы Микеля для четырёх прямых в обратной форме. Инвертируя обратно, получаем, что четвёртая окружность тоже проходит через \(P\).
Это задача на связь инверсии с точкой Микеля: сложное утверждение об окружностях превращается в линейное.