Задача
GEO-B3-M01-P006 Ортогональная окружность
Окружность \(\gamma\) ортогональна окружности инверсии с центром \(O\) и радиусом \(R\). Докажите, что \(\gamma\) переходит в себя.
Подсказка 1. Вычислите степень точки \(O\) относительно \(\gamma\).
Подсказка 2. Если прямая \(OX\) пересекает \(\gamma\) в \(X\) и \(Y\), что равно \(OX\cdot OY\)?
E. Подробное решение. Пусть \(C\) и \(r\) — центр и радиус \(\gamma\). Ортогональность даёт \(OC^2=R^2+r^2\). Значит, степень точки \(O\) относительно \(\gamma\) равна \(OC^2-r^2=R^2\). Если прямая через \(O\) пересекает \(\gamma\) в \(X\) и \(Y\), то \(OX\cdot OY=R^2\). Следовательно, \(Y\) является образом \(X\) при данной инверсии. Поэтому каждая точка \(\gamma\) переходит в точку той же окружности.
Ортогональные окружности — один из способов сделать важную окружность неподвижной.