Задача
GEO-B3-M01-P003 Прямая превращается в окружность
Прямая \(l\) не проходит через точку \(O\). Перпендикуляр \(OC\) опущен на \(l\), а \(C^*\) — образ точки \(C\) при инверсии с центром \(O\). Докажите, что образ прямой \(l\) — окружность с диаметром \(OC^*\).
Подсказка 1. Возьмите произвольную точку \(M\) на \(l\).
Подсказка 2. Докажите, что \(\angle OM^*C^*=90^\circ\).
E. Подробное решение. Пусть \(M\in l\). Тогда \(\angle OCM=90^\circ\). По лемме о подобии обратных треугольников \(\triangle OCM\sim\triangle OM^*C^*\). Значит, \(\angle OM^*C^*=90^\circ\). Следовательно, все точки \(M^*\) лежат на окружности с диаметром \(OC^*\). Обратно, если точка \(X\) лежит на этой окружности, то прямая \(OX\) пересекает \(l\) в точке \(M\), и тем же подобием получается \(X=M^*\).
Ключевая учебная задача на образ прямой: без неё инверсию дальше применять невозможно.