Задача
GEO-B2-M10-P021 Точка Микеля треугольника
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\). Докажите, что окружности \((AEF)\), \((BFD)\), \((CDE)\) имеют общую точку.
Возьмите второе пересечение окружностей \((AEF)\) и \((BFD)\), затем докажите, что оно лежит на \((CDE)\).
Пусть окружности \((AEF)\) и \((BFD)\) второй раз пересекаются в \(M\). Нужно доказать, что \(C,D,E,M\) цикличны. Из \(M\in(BFD)\) получаем \(\angle DMF=\angle DBF=\angle CBA\). Из \(M\in(AEF)\) получаем \(\angle FME=\angle FAE=\angle BAC\). Поэтому \(\angle DME=\angle DMF+\angle FME=\angle CBA+\angle BAC=180^\circ-\angle BCA\). Но \(\angle DCE=\angle BCA\). Значит \(\angle DME+\angle DCE=180^\circ\), и точки \(C,D,E,M\) лежат на одной окружности.
Это сильный, но доступный вариант Микеля без ссылки на готовую теорему.