Задача
GEO-B2-M09-P024 Общая линия Эйлера
В произвольном треугольнике выберите координаты \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(u,v)\), \(v\ne 0\). Докажите, что центр описанной окружности \(O\), центроид \(G\) и ортоцентр \(H\) лежат на одной прямой, причём \(OG:GH=1:2\).
Используйте координаты \(O\left(\frac12,\frac{u^2+v^2-u}{2v}\right)\), \(H\left(u,\frac{u(1-u)}{v}\right)\), \(G\left(\frac{1+u}{3},\frac v3\right)\).
Имеем \(O\left(\frac12,\frac{u^2+v^2-u}{2v}\right)\), \(H\left(u,\frac{u(1-u)}{v}\right)\), \(G\left(\frac{1+u}{3},\frac v3\right)\). Проверим, что \(G=\frac{2O+H}{3}\). По первой координате: \(\frac{2\cdot\frac12+u}{3}=\frac{1+u}{3}\). По второй координате: \(\frac{\frac{u^2+v^2-u}{v}+\frac{u-u^2}{v}}{3}=\frac{v}{3}\). Значит \(G\) лежит на \(OH\) и делит отрезок \(OH\) в отношении \(OG:GH=1:2\).
Финальная задача модуля: координаты доказывают общий теоретический факт.