Задача
GEO-B2-M09-P018 Три чевианы через одну точку
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,6)\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\) выбраны так, что \(BD:DC=1:2\), \(CE:EA=3:1\), \(AF:FB=2:3\). Докажите координатами, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.
Найдите координаты \(D,E,F\), затем пересечение двух прямых и проверьте третью.
По формулам деления отрезка получаем \(D(4,2)\), \(E(0,\frac32)\), \(F(\frac{12}{5},0)\). Прямая \(AD\): \(y=\frac{x}{2}\). Прямая \(BE\): \(y=-\frac{x}{4}+\frac32\). Их пересечение: \(x=2\), \(y=1\). Прямая \(CF\) проходит через \(C(0,6)\) и \(F(\frac{12}{5},0)\), поэтому имеет уравнение \(y=6-\frac52x\). Точка \((2,1)\) ей принадлежит. Значит три прямые пересекаются в одной точке.
Координатная версия задачи, которую также можно решить теоремой Чевы.