Задача
GEO-B2-M04-P018 Внутренний центр окружностей
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Две окружности имеют центры \(O_1\) и \(O_2\), радиусы \(6\) и \(9\), а \(O_1O_2=20\). Найдите расстояние от \(O_1\) до внутреннего центра гомотетии этих окружностей.
Внутренний центр лежит между центрами окружностей и делит отрезок \(O_1O_2\) в отношении радиусов.
Пусть \(H\) - внутренний центр гомотетии. Тогда \(H\) лежит на отрезке \(O_1O_2\) и \(\frac{HO_1}{HO_2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Пусть \(HO_1=x\), тогда \(HO_2=20-x\). Получаем \(\frac{x}{20-x}=\frac{2}{3}\). Значит, \(3x=40-2x\), откуда \(5x=40\), \(x=8\). Следовательно, \(HO_1=8\).
Сравнить с задачей про внешний центр, чтобы ученики не путали два случая.