Задача
GEO-B2-M04-P006 Диагонали трапеции
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\) и \(BC\) параллельны. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\).
Рассмотрите треугольники \(AOD\) и \(COB\).
Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) вертикальные. Так как \(AD \parallel BC\), получаем \(\angle ADO=\angle CBO\). Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\). Из подобия следует \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}\), в частности \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\).
Можно подчеркнуть, что это гомотетия с центром \(O\), переводящая одно основание в другое.