Задача
GEO-B2-M01-P090 Скрытая прямая Симсона
Точка \(P\) лежит на описанной окружности остроугольного треугольника \(ABC\). Из \(P\) опущены перпендикуляры \(PX\), \(PY\), \(PZ\) на прямые \(BC\), \(CA\), \(AB\) соответственно. Докажите, что точки \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Найдите две окружности, которые проходят через \(P\) и \(Y\).
D. Подсказка 2. Докажите равенство \(\angle XYC=\angle ZYA\), используя то, что \(A,Y,C\) коллинеарны.
E. Подробное решение. Так как \(PX\perp BC\) и \(PY\perp CA\), углы \(\angle PXC\) и \(\angle PYC\) прямые. Следовательно, точки \(P,X,C,Y\) лежат на одной окружности.
Аналогично \(PZ\perp AB\) и \(PY\perp CA\), поэтому \(\angle PZA=\angle PYA=90^\circ\), и точки \(P,Z,A,Y\) тоже лежат на одной окружности.
Из первой окружности получаем \(\angle XYC=\angle XPC\). Из второй окружности получаем \(\angle ZYA=\angle ZPA\).
Теперь сравним правые части. Так как \(PX\perp BC\), имеем \(\angle XPC=90^\circ-\angle BCP\). Так как \(PZ\perp AB\), имеем \(\angle ZPA=90^\circ-\angle BAP\).
Точки \(A,B,C,P\) лежат на одной окружности, поэтому \(\angle BCP=\angle BAP\): это вписанные углы, опирающиеся на хорду \(BP\). Значит, \(\angle XPC=\angle ZPA\), а значит, \(\angle XYC=\angle ZYA\).
Поскольку точки \(A,Y,C\) коллинеарны, равенство \(\angle XYC=\angle ZYA\) означает, что лучи \(YX\) и \(YZ\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(X,Y,Z\) коллинеарны.
Комментарий к методу. две окружности с диаметрами \(PC\) и \(PA\) дают равные углы у точки \(Y\) Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.
Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача. В ней есть не только равные углы, но и выбор вспомогательной конфигурации: окружность, точка Микеля, ортотреугольник или касательная. Без этого первого выбора решение не начинается.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуется 5 ключевых идей. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.