GEO-B2-M01-P081 Диагонали вписанного четырёхугольника

C. Подсказка 1. Не начинайте с произведений отрезков; сначала найдите подобие.

D. Подсказка 2. Сравните \(\angle PAB\) с \(\angle PDC\), а \(\angle PBA\) с \(\angle PCD\).

E. Подробное решение. Так как \(P,A,C\) коллинеарны, \(\angle PAB=\angle CAB\). Так как \(P,D,B\) коллинеарны, \(\angle PDC=\angle CDB\).

Углы \(\angle CAB\) и \(\angle CDB\) — вписанные и опираются на одну хорду \(CB\), поэтому они равны. Значит, \(\angle PAB=\angle PDC\).

Аналогично \(\angle PBA=\angle DBA\), \(\angle PCD=\angle DCA\), а вписанные углы \(\angle DBA\) и \(\angle DCA\) опираются на хорду \(DA\). Поэтому \(\angle PBA=\angle PCD\).

По двум углам \(\triangle PAB\sim\triangle PDC\). Из соответствия сторон получаем \(\frac{PA}{PD}=\frac{AB}{CD}\). Тогда \(PA=21\cdot\frac{6}{7}=18\).

Комментарий к методу. равные вписанные углы превращают треугольники \(PAB\) и \(PDC\) в подобные Поэтому решение устроено не как перебор всех углов на рисунке, а как выбор нужной окружности или касательной, после которого углы начинают сравниваться по одной и той же хорде или по одной и той же прямой.

Если пропустить вспомогательный шаг, задача выглядит почти произвольной: равные углы находятся в разных частях чертежа. Именно поэтому сначала выделяется скрытая конфигурация, затем выполняется угловая замена, и только в конце делается требуемый вывод.

F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача среднего типа. Один прямой перебор углов быстро перегружает рисунок, поэтому нужно увидеть скрытую окружность или заменить угол через касательную; после этого остаётся короткая цепочка равенств.

G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: требуются 3 ключевые идеи. Сначала нужно распознать скрытую геометрическую структуру, затем сделать угловую замену или добавить окружность, и только после этого выполнить заключительный вывод.