Задача
GEO-B2-M01-P022 Критерий касания через параллельность
Окружности \((ABC)\) и \((ADE)\) имеют общую точку \(A\), причём точки \(B,A,D\) лежат на одной прямой, а точки \(C,A,E\) лежат на другой прямой. Докажите, что эти окружности касаются в точке \(A\) тогда и только тогда, когда \(BC\parallel DE\).
Сравните углы между общей прямой \(AB/AD\) и касательными в \(A\), затем переведите это в углы \(ACB\) и \(AED\).
Пусть \(t_1\) и \(t_2\) — касательные к окружностям \((ABC)\) и \((ADE)\) в точке \(A\). По теореме о касательной и хорде \(\angle(t_1,AB)\equiv\angle ACB\), а \(\angle(t_2,AD)\equiv\angle AED\). Так как \(AB\) и \(AD\) — одна прямая, касательные совпадают тогда и только тогда, когда \(\angle ACB\equiv\angle AED\). Но точки \(A,C,E\) коллинеарны, поэтому равенство этих углов эквивалентно \(BC\parallel DE\). Значит окружности касаются в \(A\) тогда и только тогда, когда \(BC\parallel DE\).
Отличная задача для завершения темы: касание, хорда, параллельность и ориентированные углы работают вместе.