Задача
GEO-B2-M01-P019 Перпендикулярные окружности
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Касательные к ним в точке \(A\) перпендикулярны. Точка \(C\) лежит на \(\omega_1\), а точка \(D\) лежит на \(\omega_2\). Докажите, что \(\angle ACB-\angle ADB\equiv90^\circ\pmod{180^\circ}\).
Угол между окружностями равен углу между их касательными в \(A\).
Пусть \(t_1,t_2\) — касательные к окружностям в точке \(A\). По теореме о касательной и хорде \(\angle(t_1,AB)\equiv\angle ACB\), а \(\angle(t_2,AB)\equiv\angle ADB\). Поэтому угол между окружностями равен \(\angle ACB-\angle ADB\) в ориентированной записи. По условию \(t_1\perp t_2\), значит этот угол равен \(90^\circ\) по модулю \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ACB-\angle ADB\equiv90^\circ\pmod{180^\circ}\).
Это корректная форма задачи на угол между двумя пересекающимися окружностями.