Задача
GEO-B2-M01-P008 Ортическая пара углов
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В остроугольном треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) — основания высот из \(B\) и \(C\) соответственно. Докажите, что \(\angle ADE\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\) и \(\angle AED\equiv\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
Сначала докажите, что \(B,C,D,E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\).
Так как \(BD\perp AC\), имеем \(\angle BDC=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), имеем \(\angle BEC=90^\circ\). Поэтому \(B,C,D,E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\). Теперь применяем результат об антипараллели внутри угла: из цикличности \(B,C,D,E\) следует \(\angle ADE\equiv\angle ACB\) и \(\angle AED\equiv\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
Связка высот, окружности с диаметром и антипараллели — частый средний уровень.