Задача
GEO-B1-M05-P022 Угол между диагоналями
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В циклическом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что \(\angle APD=\angle BAC+\angle ABD\).
Рассмотрите треугольник \(ABP\) и внешний угол при точке \(P\).
Так как \(P\) лежит на \(AC\), угол \(\angle BAP=\angle BAC\). Так как \(P\) лежит на \(BD\), угол \(\angle ABP=\angle ABD\). Угол \(\angle APD\) является внешним углом треугольника \(ABP\) при вершине \(P\). Поэтому он равен сумме двух внутренних несмежных углов: \(\angle APD=\angle BAP+\angle ABP=\angle BAC+\angle ABD\).
Формально окружность здесь не используется в равенстве, но конфигурация типична для дальнейших круговых angle chasing задач.