Задача
GEO-B1-M05-P018 Расстояния от центра до равных хорд
#18
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В окружности с центром \(O\) равны хорды \(AB\) и \(CD\). Перпендикуляры из \(O\) к этим хордам пересекают их в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что \(OM=ON\).
Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
Так как \(OM\perp AB\), точка \(M\) — середина \(AB\). Аналогично \(N\) — середина \(CD\). Из \(AB=CD\) получаем \(AM=CN\). В прямоугольных треугольниках \(OMA\) и \(ONC\) гипотенузы \(OA\) и \(OC\) равны как радиусы, а катеты \(AM\) и \(CN\) равны. Значит треугольники равны, поэтому \(OM=ON\).
Задача чуть длиннее: требует вспомнить сразу два факта о хордах.