Задача
GEO-B1-M04-P021 Отрезок между диагоналями на средней линии
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD>BC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекают среднюю линию \(MN\) в точках \(P\) и \(Q\). Докажите, что \(PQ=\frac{AD-BC}{2}\).
Докажите, что \(P\) и \(Q\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Затем найдите два отрезка от \(M\) до этих точек.
Так как \(M\) — середина \(AB\) и \(MN\parallel BC\), то в треугольнике \(ABC\) точка \(P\) является серединой \(AC\), а \(MP=\frac{1}{2}BC\). Аналогично, в треугольнике \(ABD\) прямая через середину \(M\), параллельная \(AD\), пересекает \(BD\) в её середине \(Q\), и \(MQ=\frac{1}{2}AD\). При \(AD>BC\) точка \(Q\) лежит дальше от \(M\), чем \(P\), поэтому \(PQ=MQ-MP=\frac{AD}{2}-\frac{BC}{2}=\frac{AD-BC}{2}\).
Сильная задача на среднюю линию: ученик должен увидеть две разные средние линии в двух треугольниках.