Задача
GEO-B1-M04-P018 Равные диагонали и середины
#18
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OC\), \(BO=OD\) и \(AC=BD\). Докажите, что \(ABCD\) — прямоугольник.
Сначала докажите, что это параллелограмм, затем используйте равенство диагоналей.
Из условий \(AO=OC\) и \(BO=OD\) следует, что диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит \(ABCD\) — параллелограмм. В параллелограмме с равными диагоналями все углы прямые: это доказано через равенство треугольников \(ABC\) и \(DCB\). Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.
Двухшаговая задача: сначала тип четырёхугольника, затем специальный случай.