Задача
GEO-B1-M04-P011 Равнобедренная трапеция и окружность
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), а боковые стороны равны: \(AB=CD\). Докажите, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Затем используйте сумму противоположных углов.
Так как \(AB=CD\), трапеция равнобедренная, поэтому \(\angle DAB=\angle CDA\). Из \(AD\parallel BC\) следует \(\angle DAB+\angle ABC=180^\circ\). Заменяя \(\angle DAB\) равным углом \(\angle CDA\), получаем \(\angle ABC+\angle CDA=180^\circ\). Сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), значит четырёхугольник \(ABCD\) циклический.
Хорошая первая задача на доказательство цикличности без тяжёлой теории окружностей.