Задача
GEO-B1-M02-P029 Отражения ортоцентра
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(H\). Высоты треугольника \(ADE\) пересекаются в точке \(F\), а \(M\) — середина \(BC\). Докажите, что \(BH+CH\ge 2FM\).
C. Подсказка 1. Отразите \(H\) относительно прямых \(AB\) и \(AC\).
D. Подсказка 2. Докажите, что \(F\) — середина отрезка между двумя отражёнными точками.
E. Подробное решение.
Отразим \(H\) относительно \(AB\), получим точку \(C'\). Тогда \(E\) — середина \(HC'\), а \(BC'=BH\), потому что отражение сохраняет расстояния и точка \(B\) лежит на оси отражения.
Аналогично отразим \(H\) относительно \(AC\), получим точку \(B'\). Тогда \(D\) — середина \(HB'\), а \(CB'=CH\).
Так как в треугольнике \(ADE\) прямая \(DF\) перпендикулярна \(AE\), а \(AE\subset AB\), имеем \(DF\parallel CE\). Аналогично \(EF\parallel BD\). Значит, \(H E F D\) — параллелограмм.
В треугольнике \(HC'B'\) точки \(E\) и \(D\) — середины сторон \(HC'\) и \(HB'\). Поэтому четырёхугольник \(H E F D\) показывает, что \(F\) совпадает с серединой стороны \(C'B'\).
Точки \(M\) и \(F\) — середины отрезков \(BC\) и \(B'C'\). Поэтому длина \(2FM\) не превосходит \(BC'+CB'\): это следует из неравенства треугольника для суммы двух векторов от \(B\) к \(C'\) и от \(C\) к \(B'\).
Но \(BC'=BH\) и \(CB'=CH\). Следовательно, \(2FM\le BH+CH\), что и требовалось.
A. Анализ источника. Основные объекты: ортоцентр, отражения, середины, неравенство треугольника. Очевидный подход — оценивать \(FM\) напрямую, но скрытое наблюдение состоит в том, что после двух отражений точка \(F\) становится серединой нового отрезка. Ключевых идей: 4.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: сильная региональная задача с отражениями, параллельностями и финальной оценкой.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужны два отражения, распознавание параллелограмма, середина вспомогательного отрезка и только потом неравенство.