Задача
GEO-B1-M02-P027 Девять единичных отрезков
Внутри выпуклого пятиугольника \(ABCDE\) выбрана точка \(O\), соединённая со всеми вершинами. Рассматриваются пять сторон пятиугольника и пять отрезков \(OA,OB,OC,OD,OE\). Какое наибольшее количество этих десяти отрезков может быть равно \(1\)?
C. Подсказка 1. Докажите сначала, что все десять отрезков не могут быть единичными.
D. Подсказка 2. Если два соседних радиальных отрезка и сторона между ними равны 1, получается равносторонний треугольник.
E. Подробное решение.
Покажем, что десять единичных отрезков невозможны. Если бы все они имели длину \(1\), то треугольники \(OAB\), \(OBC\), \(OCD\), \(ODE\), \(OEA\) были бы равносторонними.
Тогда каждый из углов \(\angle AOB\), \(\angle BOC\), \(\angle COD\), \(\angle DOE\), \(\angle EOA\) равнялся бы \(60^\circ\). Их сумма вокруг точки \(O\) должна быть \(360^\circ\), но получилась бы \(5\cdot60^\circ=300^\circ\), противоречие. Значит, больше девяти быть не может.
Осталось построить пример с девятью. Возьмём правильный шестиугольник со стороной \(1\) и центром \(O\). Выберем пять его последовательных вершин в качестве \(A,B,C,D,E\). Тогда \(O\) лежит внутри пятиугольника.
В этом примере все отрезки \(OA,OB,OC,OD,OE\) равны \(1\), и четыре стороны \(AB,BC,CD,DE\) также равны \(1\). Последняя сторона \(EA\) не равна \(1\). Итак, достижимо ровно девять единичных отрезков.
A. Анализ источника. Основные объекты: пятиугольник, внутренняя точка, десять отрезков. Очевидный подход — пробовать построить все десять единичными, но скрытое препятствие — сумма углов вокруг внутренней точки. Нужная конструкция для примера — пять последовательных вершин правильного шестиугольника. Ключевых идей: 2.
F. Обоснование сложности. Это уровень 7: региональная экстремальная задача, где нужно и доказать верхнюю границу, и построить пример.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: доказательство максимума состоит из запрета десяти отрезков и отдельной точной конструкции для девяти.