Задача
COM-B2-M03-P016 Различные и нечётные части
Докажите, что число разбиений \(n\) на различные части равно числу разбиений \(n\) на нечётные части.
Разложите каждую часть по виду \(2^s\cdot q\), где \(q\) нечётно.
Из разбиения на нечётные части сгруппируем одинаковые нечётные части \(q\). Если \(q\) встречается \(m\) раз, запишем \(m\) в двоичной системе: \(m=\sum 2^s\). Заменим эти \(m\) копий \(q\) на части \(2^s q\). Для каждого \(q\) получаются различные степени \(2^s q\), а для разных нечётных \(q\) части тоже различны. Получаем разбиение на различные части.
Обратно, каждую различную часть единственным образом записываем как \(2^s q\) с нечётным \(q\), и заменяем её на \(2^s\) копий \(q\). Это даёт разбиение на нечётные части. Две операции обратны.
Это сильная биекция Глейшера; хорошо подходит для Book 2.