Задача
COM-B2-M02-P019 Все коробки непусты
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Сколько способов разложить \(n\) различных шаров по \(m\) различным коробкам так, чтобы каждая коробка была непуста? Выведите формулу.
Это то же самое, что сюръекция из шаров в коробки.
Каждое распределение — функция из множества шаров в множество коробок. Требование, чтобы каждая коробка была непуста, означает сюръективность. По формуле включений-исключений получаем
\[\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom mi(m-i)^n.\]
Здесь \(i\) — число выбранных коробок, которые объявлены пустыми.
Связывает язык функций и распределений.