Задача
ALG-B3-M11-P008 Произведение аргументов
#8
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), если \(P(xy)=P(x)P(y)\).
Разберите постоянные решения и ненулевые корни.
Постоянные решения: \(0\), \(1\). Если \(P\) непостоянен и имеет ненулевой корень \(r\), то \(P(ry)=0\) для всех \(y\), невозможно. Значит, \(P(x)=ax^n\). Подстановка даёт \(a=a^2\), поэтому \(a=1\). Ответ: \(0\), \(1\), \(x^n\), \(n\ge1\).
Полиномиальный корневой аргумент.