Задача
ALG-B3-M10-P019 Параметр и квадрат композиции
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все пары \((a,f)\), где \(f\) непрерывна, \(f(x+y)=f(x)+f(y)+a xy\), и \(f(f(x))=x^2\).
Используйте вид \(f(x)=\frac a2x^2+cx\) и сравните степени.
Имеем \(f(x)=\frac a2x^2+cx\). Если \(a\ne0\), то \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), а справа степень \(2\), невозможно. Значит, \(a=0\), \(f(x)=cx\). Тогда \(f(f(x))=c^2x\), что не может равняться \(x^2\) для всех \(x\). Следовательно, решений нет.
Сильная задача на параметр и степень композиции.