Задача
ALG-B3-M10-P011 Возрастающий корень из двух
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все возрастающие \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+f(y))=f(x)+2y\).
Докажите инъективность, затем аддитивность.
Если \(f(a)=f(b)\), сравнение уравнений при \(y=a,b\) даёт \(2a=2b\), значит \(a=b\). При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). При \(x=0\): \(f(f(y))=2y\). Пусть \(t=f(y)\). Тогда \(f(t)=2y\), и исходное уравнение даёт \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Функция аддитивна и возрастает, значит \(f(x)=cx\). Из \(c^2=2\) и возрастания \(c>0\). Ответ: \(f(x)=\sqrt{2}x\).
Смешение модуля 4 и inequality-модуля.