Задача
ALG-B3-M10-P007 Непрерывная derivation-форма
#7
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) непрерывна, аддитивна и \(f(xy)=xf(y)+yf(x)\). Найдите \(f\).
Непрерывная аддитивность даёт \(f(x)=cx\).
Пусть \(f(x)=cx\). Тогда \(cxy=2cxy\) для всех \(x,y\), откуда \(c=0\). Ответ: \(f\equiv0\).
На \(\mathbb R\) непрерывность играет роль рациональности.