Задача
ALG-B3-M08-P016 Третья полиномиальная итерация
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P^3(x)=x\), где \(P^3=P\circ P\circ P\).
Сравните степени, затем решите линейный случай.
Если \(P\) постоянен, невозможно. Пусть \(\deg P=d\). Тогда \(\deg P^3=d^3\), а справа степень \(1\), значит \(d=1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Тогда коэффициент при \(x\) в третьей итерации равен \(a^3\), поэтому \(a^3=1\), откуда над \(\mathbb R\) \(a=1\). Тогда \(P(x)=x+b\), и \(P^3(x)=x+3b\). Получаем \(b=0\). Ответ: \(P(x)=x\).
Полиномиальный цикл длины \(3\) над \(\mathbb R\).