Задача
ALG-B3-M07-P008 Композиционная инволюция
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(P(x))=x\).
Сравните степени.
Если \(P\) постоянен, невозможно. Пусть \(\deg P=d\). Тогда \(\deg P(P(x))=d^2\), а справа степень \(1\). Значит, \(d=1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Тогда \(P(P(x))=a^2x+b(a+1)\). Получаем \(a^2=1\), \(b(a+1)=0\). Ответ: \(P(x)=x\) и \(P(x)=-x+b\), где \(b\in\mathbb R\).
Композиция сводится к линейному случаю.