ALG-B3-M06-P018 Одинаковая чётность аргументов

Положите \(u=m+n\), \(v=m-n\). Тогда \(u\) и \(v\) одной чётности.

Заметим, что \(4mn=(m+n)^2-(m-n)^2\). Пусть \(u=m+n\), \(v=m-n\). Тогда \(u\) и \(v\) имеют одну чётность, и условие говорит \(f(u)-u^2=f(v)-v^2\). Значит, величина \(f(n)-n^2\) постоянна отдельно на чётных и на нечётных \(n\). Поэтому все решения имеют вид \(f(n)=n^2+c_0\) для чётных \(n\) и \(f(n)=n^2+c_1\) для нечётных \(n\), где \(c_0,c_1\in\mathbb Z\). Проверка очевидна, потому что \(m+n\) и \(m-n\) всегда одной чётности.

Ключевая ловушка: уравнение не связывает разные классы чётности.