Задача
ALG-B3-M05-P020 Квадратичность из параллелограмма
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) непрерывна, \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), и \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)\) для всех \(x,y\). Докажите, что \(f(x)=x^2\).
Сначала получите значения на целых и рациональных, затем используйте непрерывность.
При \(x=y\) получаем \(f(2x)+f(0)=4f(x)\), то есть \(f(2x)=4f(x)\). Стандартная индукция по формуле квадратического Коши даёт \(f(nx)=n^2f(x)\) для целых \(n\). При \(x=1\) отсюда \(f(n)=n^2\). Далее из \(f(n\cdot \frac{m}{n})=n^2 f(\frac{m}{n})\) получаем \(f(\frac{m}{n})=\frac{m^2}{n^2}\). Значит, \(f(q)=q^2\) для всех рациональных \(q\).
Для произвольного действительного \(x\) возьмём рациональные \(q_k\to x\). По непрерывности \(f(x)=\lim f(q_k)=\lim q_k^2=x^2\). Следовательно, \(f(x)=x^2\) для всех \(x\).
Финальная задача модуля: доказывает квадратическую форму, а не просто ссылается на неё.