Задача
ALG-B3-M05-P012 Квадратическая поправка на рациональных
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), такие что \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2y^2\) для всех \(x,y\).
Вычтите \(x^2\).
Положим \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)+g(x-y)=2g(x)\). На \(\mathbb Q\) это уравнение середин даёт \(g(x)=ax+b\). Поэтому \(f(x)=x^2+ax+b\), где \(a,b\in\mathbb Q\). Проверка прямая.
Тренирует вычитание известной квадратичной части.