Задача
ALG-B3-M04-P011 Сдвиг после инволюции
Найдите все функции \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которых \(f(x+f(y))=f(x)+y+1\) при всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Докажите, что \(g(x)=f(x)-f(0)\) аддитивна.
Если \(f(a)=f(b)\), то сравнение уравнений при \(y=a\) и \(y=b\) даёт \(a=b\), значит \(f\) инъективна. Обозначим \(c=f(0)\). При \(x=0\): \(f(f(y))=c+y+1\). Пусть \(t=f(y)\). Тогда \(f(t)=c+y+1\), то есть \(y+1=f(t)-c\). Поэтому исходное уравнение даёт \(f(x+t)=f(x)+f(t)-c\) для всех \(x,t\) из образа. Функция сюръективна, так как \(f(f(T-c-1))=T\), значит это верно для всех \(t\).
Положим \(g(x)=f(x)-c\). Тогда \(g(x+t)=g(x)+g(t)\), поэтому на \(\mathbb Q\) имеем \(g(x)=ax\). Кроме того, из \(f(f(y))=c+y+1\) следует \(g(g(y)+c)=y+1\). Так как \(g\) аддитивна, \(g(g(y))+g(c)=y+1\). При \(y=0\) получаем \(g(c)=1\), значит \(g(g(y))=y\). Поэтому \(a^2=1\), а \(ac=1\). Если \(a=1\), то \(c=1\); если \(a=-1\), то \(c=-1\). Ответ: \(f(x)=x+1\) и \(f(x)=-x-1\). Проверка прямая.
Уровень повышается из-за необходимости правильно сдвинуть функцию на \(f(0)\).