Задача
ALG-B3-M04-P001 Сокращение внешней функции
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) инъективна и для всех \(x,y\) выполнено \(f(f(x)+y)=f(f(y)+x)\). Докажите, что существует константа \(c\), такая что \(f(x)=x+c\) для всех \(x\).
Сначала законно сократите внешний знак \(f\).
Так как \(f\) инъективна, из равенства следует \(f(x)+y=f(y)+x\). Поэтому \(f(x)-x=f(y)-y\) для любых \(x,y\). Зафиксируем \(y=0\). Тогда \(f(x)-x=f(0)\), то есть \(f(x)=x+f(0)\). Берём \(c=f(0)\).
Базовая задача на инъективность: ученик должен увидеть, что сокращается не аргумент, а внешний функциональный знак.