Задача
ALG-B3-M03-P019 Аддитивная инволюция
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна, \(f(f(x))=x\), и \(f\) неубывает. Найдите \(f\).
Подсказка. Монотонность превращает аддитивность в линейность.
По монотонности аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Тогда \(f(f(x))=c^2x=x\), значит \(c^2=1\). Так как \(f\) неубывает, \(c\ge0\), поэтому \(c=1\). Ответ: \(f(x)=x\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.