Задача
ALG-B3-M03-P009 Совместимые сдвиги
#9
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которых \(f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)\), \(f(x+1)=f(x)+2\) и \(f(2)=7\).
Подсказка. Второе условие даёт \(f(2)-f(1)=2\), а первое связывает \(f(2)\), \(f(1)\), \(f(0)\).
Из \(f(x+1)=f(x)+2\) при \(x=1\) получаем \(f(2)=f(1)+2\), значит \(f(1)=5\). При \(x=y=1\) в первом условии \(f(2)=2f(1)-f(0)\), то есть \(7=10-f(0)\), поэтому \(f(0)=3\). Тогда \(g=f-3\) аддитивна, \(g(1)=2\), значит \(g(q)=2q\). Ответ: \(f(q)=2q+3\). Проверка всех трёх условий прямая.
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.