ALG-B3-M02-P024 Малые корни целого трёхчлена

Подсказка 1. Перейдите к обратным корням.

Подсказка 2. Если обратные корни больше или равны \(50\), то для целых коэффициентов их разность контролируется дискриминантом.

Пусть \(00\). Если \(c=1\), то \(R_2-R_1=\sqrt{b^2-4a}\) - положительный корень из целого числа, значит при различных корнях \(R_2-R_1\ge1\). Тогда \(R_1\ge50\), \(R_2\ge51\), и \(a=R_1R_2\ge50\cdot51=2550\). Если \(c\ge2\), то \(a=cR_1R_2\ge2\cdot50^2>2550\). Значит \(a\ge2550\). Осталось показать достижимость: трёхчлен \(2550x^2-101x+1\) имеет корни \(\frac1{50}\) и \(\frac1{51}\), поэтому \(a=2550\) подходит.

A. Анализ источника. Главные объекты: целочисленный квадратный трёхчлен и два малых положительных корня.

B. Недостаточный первый ход. Прямая работа с малыми корнями даёт неудобные дроби.

C. Скрытое наблюдение. Обратные корни становятся большими, а целочисленность коэффициентов даёт дискретный зазор.

D. Нужный ход. Нужно заменить корни на обратные и отдельно рассмотреть c=1 и c>=2.

E. Число идей. Три идеи: обратная подстановка, дискриминантный зазор, построение примера на соседних числах.

F. Обоснование уровня. Финальный уровень 8: решение требует нетривиального выбора обратных корней и аккуратной нижней оценки.

G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: после замены нужно использовать целочисленность и затем построить точный пример.