Задача
ALG-B3-M02-P014 Широкий ответ
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), если \(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\) для всех \(x,y\in\mathbb R\).
Подсказка. Вычтите \(\frac{x^2}{2}\), но не предполагайте линейность аддитивной части.
Пусть \(A(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}\). Тогда \(A(x+y)=A(x)+A(y)\). Следовательно, все решения имеют вид \(f(x)=\frac{x^2}{2}+A(x)\), где \(A:\mathbb R\to\mathbb R\) - произвольная аддитивная функция. Проверка следует из \((x+y)^2/2=x^2/2+y^2/2+xy\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.