Задача
ALG-B3-M02-P011 Итерация и обратимость
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), если \(f(f(x)+y)=f(y)+x\) для всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Подсказка. Сначала докажите \(f(0)=0\), затем \(f(f(x))=x\).
При \(x=0\): \(f(f(0)+y)=f(y)\). Это означает, что сдвиг на \(f(0)\) не меняет значения \(f\). При \(y=0\) получаем \(f(f(x))=f(0)+x\). Подставляя это в предыдущее равенство и сравнивая, получаем \(f(0)=0\), а значит \(f(f(x))=x\). Теперь заменим \(x\) на \(f(t)\): \(f(t+y)=f(y)+f(t)\). Значит \(f\) аддитивна. На \(\mathbb Q\) имеем \(f(q)=cq\), а условие \(f(f(q))=q\) даёт \(c^2=1\). Ответ: \(f(q)=q\) и \(f(q)=-q\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.