Задача
ALG-B2-M12-P011 Вариант 3. Holder в цикле
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка. Используйте Holder.
По Holder, левая часть не меньше \(\frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\). Так как знаменатель не превосходит \(3(a+b+c)^2\), получаем требуемое.
Mock-вариант 3: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.