ALG-B2-M11-P010 Два множителя в знаменателе

Подсказка. После Cauchy сравните \(a^2+b^2+c^2\) и \(ab+bc+ca\).

По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sum(a+b)(a+c)}.\] Знаменатель равен \(a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\). Поэтому достаточно проверить \[4(a+b+c)^2\ge3(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca),\] что равносильно \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).

Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.